Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
b_1+b_1q+...+ = \frac{b_1}{1-q}b
1
+b
1
q+...+=
1−q
b
1
\begin{lgathered}1)0,(3)=0,3333333....=0,3+0,03+0,003+...= \frac{0,3}{1-0,1}= \frac{3}{9}: \\ \\ 0,2(5)=0,2555555...=0,2+0,05+0,005+...=0,2+ \frac{0,05}{1-0,1}= \\ \\ =0,2+ \frac{5}{90}= \frac{23}{90} ; \\ \\ 7,(36)=7,363636...=7+0,36+0,0036+...=7+ \frac{0,36}{1-0,01}=7+ \frac{36}{99}= \\ \\ =7 \frac{36}{99}=7 \frac{4}{11}\end{lgathered}
1)0,(3)=0,3333333....=0,3+0,03+0,003+...=
1−0,1
0,3
=
9
3
:
0,2(5)=0,2555555...=0,2+0,05+0,005+...=0,2+
1−0,1
0,05
=
=0,2+
90
5
=
90
23
;
7,(36)=7,363636...=7+0,36+0,0036+...=7+
1−0,01
0,36
=7+
99
36
=
=7
99
36
=7
11
4
Есть правило: Бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой разность между всем числом после запятой и числом после запятой до периода, а знаменатель состоит из «девяток» и «нулей», причем, «девяток» столько, сколько цифр в периоде, а «нулей» столько, сколько цифр после запятой до периода.
В первом примере
1) 0, (3). В числителе обыкновенной дроби запишем разность между всем числом после запятой (3) и числом после запятой до периода дроби (0). В периоде одна цифра, а после запятой до периода ни одной, поэтому знаменатель будет состоять из одной девятки (9).
0,3= \frac{3-0}{9}= \frac{3}{9}0,3=
9
3−0
=
9
3
0, 2(5). В числителе обыкновенной дроби запишем разность между всем числом после запятой (25) и числом после запятой до периода дроби (2). В периоде одна цифра, а после запятой до периода одна, поэтому знаменатель будет состоять из одной девятки и одного нуля (90).
0,2(5)= \frac{25-2}{90}= \frac{23}{90}0,2(5)=
90
25−2
=
90
23
7,(36)В числителе обыкновенной дроби запишем разность между всем числом после запятой (36) и числом после запятой до периода дроби (0). В периоде две цифры, а после запятой до периода ни одной, поэтому знаменатель будет состоять из двух девяток (99).
7,36=7 \frac{36-0}{99}=7 \frac{4}{11}7,36=7
99
36−0
=7
11
4
\begin{lgathered}2)7,2(23)=7 \frac{223-2}{990} =7 \frac{221}{990} ; \\ \\ 4,2(25)=4 \frac{225-2}{990}=4 \frac{223}{990} ; \\ \\ 1,0(27)=1 \frac{027-0}{990}=1 \frac{27}{990} =1 \frac{3}{110}\end{lgathered}
2)7,2(23)=7
990
223−2
=7
990
221
;
4,2(25)=4
990
225−2
=4
990
223
;
1,0(27)=1
990
027−0
=1
990
27
=1
110
3
\begin{lgathered}3)10,21(4)=10 \frac{214-21}{900}=10 \frac{193}{900};\\ \\-2,1(12)=-2 \frac{112-1}{990}=-2 \frac{111}{990}=-2 \frac{37}{330}\end{lgathered}
3)10,21(4)=10
900
214−21
=10
900
193
;
−2,1(12)=−2
990
112−1
=−2
990
111
=−2
330
37
\begin{lgathered}4)0,(312)= \frac{312-0}{999}= \frac{312}{999}= \frac{104}{333}; \\ \\ 0,0(2) = \frac{02-0}{90}= \frac{2}{90}= \frac{1}{45}\end{lgathered}
4)0,(312)=
999
312−0
=
999
312
=
333
104
;
0,0(2)=
90
02−0
=
90
2
=
45
1