Составим характеристическое уравнение. к³-3к²+3к-1=0, найдем его корни. (к³-1)+(3к-3к²)=(к-1)(к²+к+1)-3*к*(к-1)=(к-1)*(к²+к+1-3к)=(к-1)*(к-1)²=
(к-1)³
(к-1)³=0, к₁,₂,₃=1; общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами ищем в виде (с₁+хс₂+с₃х²)еˣ.
Производные первого, второго и третьего порядков соответственно равны : первая производная (с₂+2хс₃)еˣ+еˣ*(с₁+хс₂+х²с₃)=
еˣ*(х²с₃+(2с₃+с₂)х+(с₁+с₂)), дальше находим вторую производную.
еˣ(2хс₃+2с₃+с₂)+еˣ(с₃х²+(2с₃+с₂)х+(с₁+с₂))=еˣ*(с₃х²+(4с₃+с₂)х+(с₁+2с₂+2с₃))
Подставим начальные данные, чтобы найти константы с₁,с₂,с₃. Т.к. у(0)=0, то с₁=0, игрек штрих от нуля равна нулю, отсюда с₁+с₂=0, т.е. с₁=-с₂=0, подставим значение второй производной от нуля, она равна 4
с₁+с₂+2с₃=4, 2с₃=4, с₃=2, и решение задачи Коши запишем в виде
у=2х²*еˣ
Ответ у=2х²*еˣ