4²ˣ⁺² + 4ˣ⁺¹ - 1 = 0;
16·4²ˣ + 4·4ˣ - 1 = 0;
Замена: 4ˣ = t/16, t > 0
t² + 4t - 16 = 0
t₁ = -2 + √20 = -2 + 2√10
t₂ = -2 - 2√5 - не удовлетворяет условие t > 0
Обратная замена:
4ˣ = (-2 + 2√5)/16 = (-1 + √5)/8
x = log₄(-1 + √5)/8
Ответ: log₄(-1 + √5)/8.
ІІ способ
4²ˣ⁺² + 4ˣ⁺¹ - 1 = 0;
4²⁽ˣ⁺¹⁾ + 4ˣ⁺¹ - 1 = 0;
Замена: 4ˣ⁺¹ = t, t > 0
t² + t - 1 = 0
t₁ = -1/2 + √(5/4) = -1/2 + √5/2 = (-1 + √5)/2
t₂ = (-1 - √5)/2 - не удовлетворяет условие t > 0
Обратная замена:
4ˣ⁺¹ = (-1 + √5)/2;
4·4ˣ = (-1 + √5)/2;
4ˣ = (-1 + √5)/8;
x = log₄(-1 + √5)/8
Ответ: log₄(-1 + √5)/8.