F(x)=(x²-1)/(x²+1) Найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума....

Question

Дан 1 ответ

_zn · Answer 1 · 2020-06-03T21:47:20+0000

$f(x) = \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2}+1}$

Определим производную функции по формуле: $f'\bigg(\dfrac{v}{u} \bigg) = \dfrac{v'u - u'v}{u^{2}}$

$f'(x) = \dfrac{(x^{2} - 1)'(x^{2}+1) - (x^{2}+1)'(x^{2} - 1)}{(x^{2}+1)^{2}} =\\\\= \dfrac{2x(x^{2}+1) - 2x(x^{2} - 1)}{(x^{2}+1)^{2}} = \dfrac{2x(x^{2}+1 - x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{2}} = \dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}$

Определим критические точки, приравняв к нулю значение производной:

$\dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{2}} = 0$

$D(f'(x)): (x^{2}+1)^{2}\neq 0; \ x \in \mathbb{R}$

$4x = 0; \ x = 0$

Определим промежутки возрастания, убывания и точки экстремума (выбираем из каждого промежутка какое-нибудь число и подставляем его в производную, и проверяем её знак):

x\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \searrow \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \nearrow" alt="\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \text{min} \ \ \ \ \ \ + \\------- \circ------> x\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \searrow \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \nearrow" align="absmiddle" class="latex-formula">

Итак,

1) функция возрастает на промежутке $x \in (0; \ + \infty)$