23. Данное неравенство равносильно системе:
x² + x + 31 > 0
10x + 11 > 0
x² + x + 31 > 10x + 11
Для первого неравенства х ∈ R
10x > -11
x² - 9x + 20 > 0
x > -1,1
x² - 9x + 20 > 0
x² - 9x + 20 = 0
x₁ = 4; x₂ = 5.
+++++ ------ +++++
------ -1,1-----------4-----------5----------->
Решение системы: x ∈ (-1,1; 4)U(5; ∞).
Ответ: x ∈ (-1,1; 4)U(5; ∞).
24.
-log₂(x² + 3x) ≥ 0
log₂(x² + 3x) ≤ 0
Данное неравенство равносильно системе:
x² + 3x > 0
x² + 3x ≤ 1
x(x + 3) > 0
x² + 3x - 1 ≤ 0
x² + 3x - 1 = 0
D = 9 + 4 = 13; √D = √13
x₁ = (-3 + √13)/2; x₂ = (-3 - √13)/2
Покажем решения неравенств системы на числовой прямой:
+++++ ------ +++++
----------------------- -3--------------0-------------------->
++++++++ ------------- ++++
-----(-3 - √13)/2----------------------------(-3 + √13)/2---------->
Решение системы x ∈ [(-3 - √13)/2; -3)U(0; (-3 + √13)/2]
Ответ: x ∈ [(-3 - √13)/2; -3)U(0; (-3 + √13)/2].