∫ x*arcsin(x)dx
Воспользуемся формулой:
∫udv=uv-∫vdu
Сделаем замену
u=arcsin(x)
du=dx/√(1-x^2)
xdx=dv
v=x^2/2
тогда
∫ x*arcsin(x)dx =(x^2/2)*arcsin(x)- ∫(x^2/2/√(1-x^2)dx=
==(x^2/2)*arcsin(x)- (1/2)∫(x^2/√(1-x^2)dx
для нахождения интеграла
(1/2)*∫(x^2/√(1-x^2)dx
Сделаем замену
x = sin(u)
dx=cos(u)du
(1/2)*∫(x^2/√(1-x^2)dx=(1/2)*∫((sin^2(u)/ √(1-sin^2(u)))*cos(u)du=
=(1/2)* ∫(sin^2(u)/ √(cos^2(x))*cos(u)du=
=(1/2)* ∫(sin^2(u)/ cos(u))*cos(u)du=(1/2) ∫sin^2(u)du=(1/2) ∫((1-cos(2u)/2)du=
=(1/4) ∫(1-cos(2u))du=(1/4) ∫du-(1/4) ∫cos(2u)du=u/4-sin(2u)/8+c=
=u/4-sin(u)*cos(u)/4+c
Так как
sin(u)=x => u=arcsin(x)
и
cos(u)= √(1-sin^2(u))= √(1-x^2)
то получим, что
u/4-sin(u)*cos(u)/4+c =arcsin(x)/4-(x/4)* √(1-x^2)+c
и в целом
∫ x*arcsin(x)dx ==(x^2/2)*arcsin(x)-arcsin(x)/4+(x/4)* √(1-x^2)+c