Познакомится с мной и увидишь шар земной каким членом предложения является со мной
Познакомишься с кем? Со мной - дополнение, выражено местоимением с предлогом "со".
(Познакомишься с кем?) со мной - дополнение, выражено местоимением с предлогом "со".
Ответ:
Познакомится с мной и увидишь шар земной(с кем?) со мной-дополнение