Родился на Кубани в станице Ленинградской Краснодарского края 11 февраля 1941 года в семье кадрового военного и учительницы. Отец поэта, начальник разведки корпуса подполковник Поликарп Ефимович Кузнецов, погиб на Сапун-горе в 1944 году в битве за освобождение Севастополя. Эта смерть оказала в дальнейшем большое влияние на творчество Юрия Кузнецова. Через село, где поэт жил в раннем детстве, прогремела война.
Отрочество поэта прошло в Тихорецке, а юность — в Краснодаре. После окончания школы Кузнецов проучился один год в Краснодарском педагогическом институте, откуда ушёл в армию. Служил связистом на Кубе в разгар Карибского кризиса 1962 года, когда мир был на грани ядерной войны. Часто вспоминал об этой поре. После армии некоторое время работал в милиции. В 1970 году с отличием окончил Литературный институт им. А. М. Горького, семинар С. Наровчатова. После института работал в московском издательстве «Современник» в редакции национальной поэзии. С 1994 года — редактор издательства «Советский писатель», с 1996 года редактор отдела поэзии в журнале «Наш современник».
Профессор Литературного института, член Союза писателей СССР с 1974 года.
В 1990 году подписал «Письмо 74-х».