без ошибки пишем и потому что слово ошибки стоит в Родительном падеже ( без чего без ошибки)
на пароходе пишем с е потому что слово пароходе стоит в Творительном падеже ( на чём на пароходе)
около площадки пишем с и потому что слово площадки в Родительном падеже
к рощи пишем с и потому что оно в Дательном падеже ( к чему к рощи)
у опушки в родительном падеже
без лошадки также в родительном падеже
за речкой в творительном падаже так как например домик находится за чем? за речкой
в подъезде в предложном падеже