Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объем 343 м^3. При каких размерах на его изготовление пойдет наименьшее количество материала?
пусть a- ширина основания, b - высота
a*a*b = 343
отсюда b = 343/ a^2
расход материала
f(a,b) = 2* а^2 + 4* a*b = 2a^2 +4*343/ a
найдём экстремумы функции f
f' = 4a-4*343/a^2
a^3 = 343
т.е оптимальной формой будет кубический ящик 7х7х7
a²b = 343
отсюда b = 343/ a²
f(a,b) = 2a² + 4ab = 2a² +4*343/a
экстремумы функции: f' = 4a-4*343/a²
а³ = 343
a=7
b=343:49=7