40 баллов!!!!!!!! Радиус вписанной окружности в любой треугольник находится по формуле…

$r = \frac{S}{p} = \frac{2S}{a + b + c}$

Где p – полупериметр данного треугольника, S – его площадь.

Доказательство:

Пускай дан произвольный треугольник ∆АВС и вписанная в него окружность. Соединим центр окружности О с вершинами треугольника получим:

$S_{ABC} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{AOC}$

Проведём радиусы (r) окружности к сторонам треугольника (a, b, c) (по свойству касательной, радиусы перпендикулярны сторонам). Тогда:

$S_{ABC} = \frac{ar}{2} + \frac{br}{2} + \frac{cr}{2} = \frac{(a+b+c)}{2}r = pr \Rightarrow \\ \Rightarrow r = \frac{S}{p}$