В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB= 6, BC=CD= 10, AD=...

Question

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB= 6, BC=CD= 10, AD= 16, AC= 14. а) Докажи, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность. б) Вычисли BD⋅AC. а) Некоторые этапы доказательства (сделай рисунок в тетради, сохранив обозначения точек). ∠ABC+∠ADC= ...° + ...° = ...° б) 1) 156 2) 380 3) 256 4) 220

Answer 1

Рассмотрим треугольник ADB, в котором AD=80, AB=60, DB=100 (см. рисунок ниже). Можно заметить, что

то есть, треугольник ADB – прямоугольный (по теореме, обратной тереме Пифагора) с гипотенузой DB и углом A=90º.

Рассмотрим треугольник DCB, в котором DC=96, BC=28, DB=100, имеем:

,

то есть, треугольник DCB – прямоугольный с гипотенузой DB и углом C=90º.

Получаем, что , значит, . Равенство суммы противоположных углов означает, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.