Sin^2 x+3 cos⁡x sin⁡x+1=0

$\sin {}^{2} (x) + 3 \sin(x) \cos(x) + 1 = 0 \\ \sin {}^{2} (x) + 3 \sin(x) \cos(x) + \sin {}^{2}(x) + \cos {}^{2} (x) = 0 \\ 2 \sin {}^{2} (x) + 3 \sin(x) \cos(x) + \cos {}^{2} (x) = 0$

Легко менять, что cos(x) ≠ 0, так как при подстановок в уравнение 0 вместо cos(x) получим что sin(x) = 0, но таких угол не существует, чтобы и cos и sin одновременно равнялись 0, поэтому мы можем разделить данное уравнение на cos²(x):

$2 \frac{ \sin {}^{2} (x) }{ \cos {}^{2} (x) } + 3 \frac{ \sin(x) \cos(x) }{ \cos {}^{2} (x) } + \frac{ \cos {}^{2} (x) }{ \cos {}^{2} (x) } = 0 \\ 2 \tan^{2} (x) + 3 \tan(x) + 1 = 0 \\ \tan(x) = t \\ 2 {t}^{2} + 3t + 1 = 0 \\ D_{t} = {3}^{2} - 4 \times 2 = 1 \\ \left[ \begin{gathered} t_{1} = \frac{ - 3 + 1}{4} = - \frac{1}{2} \\ t_{2} = \frac{ - 3 - 1}{4} = - 1 \end{gathered} \right. \\ \left[ \begin{gathered} \: \tan(x) = - \frac{1}{2} \\ \tan(x) = - 1 \end{gathered} \right. \\ \left[ \begin{gathered} \: x = - \arctg( \frac{1}{2}) + \pi n \\ x = \frac{3\pi}{4} + \pi n , \: n \in \mathbb Z \end{gathered} \right.$