Ответ:
A) 4,5.
Объяснение:
Найдем уравнение касательной. Как известно производная функции дает новую функцию, которая равна коэффициенту наклона касательной к функции. Поэтому найдем производную функции.
y' = ((x³+1)/x²)' = 1 - 2/x^3.
y'(1) = 1 - 2/1 = 1-2 = -1 = k.
Уравнение касательной: y = kx + y0. (1)
Найдем y0. Для этого найдем значение функции в точке x0 = 1:
y(1) = (x³+1)/x² = (1³+1)/1² = 2.
Тогда значение y в (1) должно в x0 = 1 быть равно 2. Так вычислим окончательно y0:
2 = -1 + y0 => y0 = 3.
Уравнение касательной:
y = -x + 3. (2)
Найдем точки пересечения прямой (2) с осями y и x:
y = 0 + 3 = 3 => (0; 3);
0 = -x + 3 => x = 3 => (3; 0)
Тогда получаем прямоугольный треугольник с вершинами (0; 0), (0; 3) и (3; 0). Последние две точки определяют концы катетов. Их длины равны по 3 линейных единицы. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то есть:
S = 1/2 * 3 * 3 = 9/2 = 4,5.
То есть ответ A.