Вычислить приближенно корень квадратный из ((3,02)^2+(3,97)^2) с помощью дифференциала

$3.02^2 + 3.97^2$

Рассмотрим функцию двух переменных:

$f(x,y) = x^2 + y^2$

Пусть $\Delta x = 0.02$ , $\Delta y = -0.03$ , $x = 3$ , $y = 4$ .

Теперь найдем дифференциал функции:

$d(f(x,y)) = f'_x(x,y)*\Delta x + f'_y(x, y) * \Delta y\\f'_x(x,y) = 2x\\f'_y(x,y) = 2y\\d(f(x,y)) = 2x\Delta x +2y\Delta y$

Приближенное значение считается по формуле:

$f(x+\Delta x, y + \Delta y) = f(x,y) + d(f(x,y)) = x^2 + y^2 + 2x\Delta x + 2y \Delta y$

Подставляем исходные значения, получаем ответ:

$f(3+0.02,4-0.03) = 3^2+4^2 + 2*3*0.02 - 2*4*0.03 = 25 + 0.12 - 0.24 = 24.88$

Что-то я недоглядел, что нужно найти корень из этого, поэтому теперь подставим это значение под корень:

$\sqrt{24.88} = \sqrt{25-0.12} = \sqrt{25(1-\frac{12}{2500})} = 5\sqrt{1 - 0.0048}$

Рассмотрим функцию $g(t) = 5\sqrt{t}$ при t = 1, Δt = -0.0048

$g'(t) = \frac{5}{2\sqrt{t}}$

$g(t+\Delta t) = g(t) + g'(t)*\Delta t\\g(1) = 5\sqrt{1} - \frac{5}{2\sqrt{1}}*0.0048 = 5 - 2.5*0.0048 = 5 - 0.012 = 4.988\\$

Ответ: 4.988