При каких значениях параметра a уравнение
(5ˣ)² - (8a+5)*5ˣ +16a² +20a -14 =0 имеет единственное решение
Решение : (5ˣ)² - (8a+5)*5ˣ +16a² +20a -14 =0
квадратное уравнение относительно t = 5ˣ >0
t² - (8a+5)t +16a² +20a +14 =0
D = (8a+5)² - 4(16a² +20a -14 )=64a² +80a +25 -64a² -80a+56 =81 =9² >0
т.е. это уравнение всегда имеет 2 решения
Но если свободный член будет отрицательно , то корни будут разных знаков и исходное уравнение будет иметь одно решение
16a² +20a - 14 =16(a +7/4)(a - 1/2) < 0 ⇒ a ∈( -7/4 ; 1/2 )
НО ЕСЛИ 16a² +20a - 14 =0 , т.е. a = -7/4 или a = 1/2
получается
5ˣ (5ˣ - 8a - 5) = 0 ⇒ 5ˣ = 0 или 5ˣ = 8a + 5
5ˣ = 0 не имеет решение 5ˣ = 8a + 5 имеет решение если
a > - 5 / 8 || a = 1/2 удовлетворяет ||
следовательно
Ответ: a ∈( -7/4 ; 1/2 ]
5ˣ = (8a+5 -9)/2 = 4a -2
5ˣ = (8a+5 +9)/2 = 4a +7