(2) Строили собор во времена Ивана Грозного, и вышел с ним будто бы казус совершенно неожиданный и негаданный.
Два простых предложения в составе сложного, между ними запятая. Это сложносочиненное предложение.
(3) Во время осмотра и перед освящением его на Ивана Грозного, царя суеверного и подозрительного, обрушился сверху изрядный пласт штукатурки.
Царя суеверного и подозрительного - приложение, выделяемое запятыми.
(4) Царь сразу же из Вологды уехал, и по этой или по какой другой причине дивной красоты и благолепия собор Святой Софии остался холодным.
Два простых предложения в составе сложного, две грамматические основы - царь уехал, собор остался.