Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А...

Задача: Даны координаты вершин пирамиды: A₁A₂A₃A₄: A₁(7, 2, 4), A₂(7, −1, −2), A₃(3, 3, 1), A₄(−4, 2, 1). Найти площадь грани A₁A₂A₄.

·······························································

$A_1A_2 = \sqrt{(7-7)^2+(-1-2)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{9+36} =\sqrt{45}\\A_2A_4 = \sqrt{(-4-7)^2+(2-(-1))^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{121+9+9} =\sqrt{139}\\A_1A_4 = \sqrt{(-4-7)^2+(2-2)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{121+9} =\sqrt{130}\\\\$

$cos \angle A_1 = \frac{(A_1A_4)^2+(A_1A_2)^2-(A_2A_4)^2}{2\cdot (A_1A_4)\cdot (A_1A_2) }\\\\cos \angle A_1 = \frac{(\sqrt{130} )^2+(\sqrt{45})^2-(\sqrt{139})^2}{2\cdot \sqrt{130}\cdot \sqrt{45} } =\\\\= \frac{130+45-139}{2\sqrt{5\cdot 26} \cdot \sqrt{5\cdot 9}} =\frac{36}{30\sqrt{26}} =\frac{6}{5\sqrt{26}} \approx 0,235 \approx 76 \°$

$S_{A_1A_2A_4} = \frac{1}{2} A_1A_2\cdot A_1A_4\cdot sin\angle A_1\\\\sin \angle A_1= sin 76 \° \approx 0,97\\\\S_{A_1A_2A_4} = \frac{1}{2} \sqrt{45} \cdot \sqrt{130} \cdot 0,97 = \frac{15}{2}\sqrt{26}\cdot 0,97 \approx 37$

Ответ: Площадь грани A₁A₂A₄ равна $\approx$ 37 квадратным единицам.