Не просив разрешения какая часть речи отпределения , опстояткльство,сказуемое
НЕ ПРОСИВ РАЗРЕШЕНИЯ - это словосочетание (со связью-управление), главное слово выражено деепричастием " НЕ ПРОСИВ " >>чего? " РАЗРЕШЕНИЯ"-зависимое слово , выраженное существительным.