Интегралы, снизу конечный ответ

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$\int\limits \dfrac{dx}{3x^2-2x-1}$

Разложим знаменатель на множители:

$3x^2-2x-1=0$

Сумма коэффициентов равна нулю, значит корни уравнения 1 и -1/3.

Интеграл примет вид:

$\int\limits \dfrac{dx}{3x^2-2x-1}=\int\limits \dfrac{dx}{3\left(x-1\right)\left(x+\dfrac{1}{3}\right)}=\int\limits \dfrac{dx}{(x-1)(3x+1)}$

Разложим дробь, стоящую под знаком интеграла, на составляющие:

$\dfrac{1}{(x-1)(3x+1)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{3x+1}=\\=\dfrac{A(3x+1)+B(x-1)}{(x-1)(3x+1)}=\dfrac{3Ax+A+Bx-B}{(x-1)(3x+1)}=\dfrac{(3A+B)x+(A-B)}{(x-1)(3x+1)}$

$\dfrac{1}{(x-1)(3x+1)}=\dfrac{(3A+B)x+(A-B)}{(x-1)(3x+1)}$

Дроби равны, знаменатели равны, значит равны и числители:

$(3A+B)x+(A-B)=1$

Многочлены равны, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях. Составим систему:

$\begin{cases} 3A+B=0\\ A-B=1 \end{cases}$

Выразим из второго уравнения А:

$A=B+1$

Подставляем в первое и находим В:

$3(B+1)+B=0$

$3B+3+B=0$

$4B=-3$

$B=-\dfrac{3}{4}$

Находим А:

$A=-\dfrac{3}{4}+1=\dfrac{1}{4}$

Сумма принимает вид:

$\dfrac{1}{(x-1)(3x+1)}=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{3x+1}$

Значит, интеграл примет вид:

$\int\limits \dfrac{dx}{3x^2-2x-1}=\int\dfrac{dx}{(x-1)(3x+1)}=\dfrac{1}{4}\int\dfrac{dx}{x-1}-\dfrac{3}{4}\int\dfrac{dx}{3x+1}$

Для второго слагаемого выполним приведение под знак дифференциала:

$\int\limits \dfrac{dx}{3x^2-2x-1}=\dfrac{1}{4}\int\dfrac{dx}{x-1}-\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{3} \int\dfrac{d(3x+1)}{3x+1}$

Интегрируем:

$\int\limits \dfrac{dx}{3x^2-2x-1}=\dfrac{1}{4}\ln|x-1|-\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{3}\ln|3x+1|+C$

Упрощаем:

$\int\limits \dfrac{dx}{3x^2-2x-1}=\dfrac{1}{4}\ln|x-1|-\dfrac{1}{4}\ln|3x+1|+C$

Применим свойство логарифмов:

$\int\limits \dfrac{dx}{3x^2-2x-1}=\dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{x-1}{3x+1}\right|+C$

Artem112_zn (271k баллов) 06 Июнь, 20