Докажите, что 1•1+ 2•2+ … + n•n= (n + 1)– 1 при любом натуральном n. СРОЧНО !!!!

Question

Докажите, что 1•1+ 2•2+ … + n•n= (n + 1)– 1 при любом натуральном n. СРОЧНО !!!!

Comments

1•1!+ 2•2!+ … + n•n!= (n + 1)!– 1 возможно что так?

---

да

---

именно так, просто я уже третий раз задаю вопрос, но на него никто не отвечает, и я решил, что дело в восклицательных знаках

---

Без восклицательных знаков будет другой ответ. Есть и такой пример, но уже с другим ответом.

---

хорошо, спасибо огромное

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

k•k!=[(k+1)-1]•k!=(k+1)•k!-1•k!=(k+1)!-k!

Получили что k•k!=(k+1)!-k!. Используем полученную формулу для каждого произведения

1•1!=2!-1!

2•2!=3!-2!

3•3!=4!-3!

....................

(n-2)•(n-2)!=(n-1)!-(n-2)!

(n-1)•(n-1)!=n!-(n-1)!

n•n!=(n+1)!-n!

__________________

Сложив полученные равенства, имеем

1•1!+2•2!+3•3!+...+(n-2)•(n-2)!+(n-1)•(n-1)!+n•n!=

=2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+(n-1)!-(n-2)!+n!-(n-1)!+(n+1)!-n!=(n+1)!-1

Что и требовалось доказать.