Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 121^х + (3а^2-а+4) *...

0 голосов
54 просмотров

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 121^х + (3а^2-а+4) * 11^х - 5а -2=0 имеет единственный корень


Математика (12 баллов) | 54 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Рассмотрим функцию f(t) = t^2 + (3a^2 - a + 4)t - 5a - 2. Тогда исходное уравнение имеет вид: f(11^x) = 0.

Заметим, что любой положительный корень уравнения f(t) = 0 однозначно определяет корень уравнения f(11^x) = 0 (это верно в силу того, что уравнение 11^x = t (относительно x) имеет ровно одно решение, так как показательная функция монотонно возрастает на своей области определения). Тогда переформулируем задачу.

При каких значениях параметра a, уравнение f(t)=0 имеет ровно один положительный корень?

График y = f(t) представляет собой параболу с ветвями вверх.

Исследуем местоположение ее вершины.

t_v = - \frac{3a^2-a+4}{2}.

Заметим, что при любом значении параметра a, t_v < 0 (это следует из отрицательности дискриминанта). Это говорит о том, что либо у нас вообще нет корней (вершина находится выше оси абсцисс), либо у нас таки есть корень, но он обязательно будет отрицательным.

Для того чтобы мы имели положительный корень, необходимо и достаточно потребовать следующее условие: f(0) < 0.

Тогда имеем image -0,4" alt="-5a - 2 < 0 \Leftrightarrow a > -0,4" align="absmiddle" class="latex-formula">.

Ответ: a \in (-0,4; +\infty).

(476 баллов)