Рассмотрим функцию . Тогда исходное уравнение имеет вид: .
Заметим, что любой положительный корень уравнения однозначно определяет корень уравнения (это верно в силу того, что уравнение (относительно ) имеет ровно одно решение, так как показательная функция монотонно возрастает на своей области определения). Тогда переформулируем задачу.
При каких значениях параметра , уравнение имеет ровно один положительный корень?
График представляет собой параболу с ветвями вверх.
Исследуем местоположение ее вершины.
.
Заметим, что при любом значении параметра , (это следует из отрицательности дискриминанта). Это говорит о том, что либо у нас вообще нет корней (вершина находится выше оси абсцисс), либо у нас таки есть корень, но он обязательно будет отрицательным.
Для того чтобы мы имели положительный корень, необходимо и достаточно потребовать следующее условие: .
Тогда имеем -0,4" alt="-5a - 2 < 0 \Leftrightarrow a > -0,4" align="absmiddle" class="latex-formula">.
Ответ: .