Стороны треугольника равны 3 см, 4см, 5см. Найдите длины его медиан

Узнаем вид треугольника при помощи теоремы Пифагора: $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ . Если теорема сработает, то это прямоугольный треугольник.

Итак, $5^{2} = 3^{2} + 4^{2}$ — верно (египетский треугольник)

Медиана $m_{a}$ , проведенная к гипотенузе $a = 5$ см прямоугольного треугольника, является радиусом описанной около него окружности и равна половине гипотенузы: $m_{a} = \dfrac{a}{2} = \dfrac{5}{2} = 2,5$ см.

Медианы, проведенные к катетам, разбивают прямоугольник на два, один из которых является прямоугольным с гипотенузой, численно равной длине медианы.

Таким образом, $m_{b} = \sqrt{\dfrac{b^{2}}{4} + c^{2}} = \sqrt{\dfrac{3^{2}}{4} + 4^{2}} = \dfrac{\sqrt{73} }{2}$ см и $m_{c} = \sqrt{b^{2} + \dfrac{c^{2}}{4}} =\sqrt{3^{2} + \dfrac{4^{2}}{4}} = \sqrt{13}$ см

Ответ: $2,5$ см, $\dfrac{\sqrt{73} }{2}$ см, $\sqrt{13}$ см.