Ответ:
1) 4S/15
2) S/9
Объяснение:
1) Первое очень просто. BN=NC=z
Теорема. Площади треугольников с равными углами относятся как произведения сторон этих углов.
Тогда получим следующие равенства.
S(AMK)/S(ABC)=(AM·AK)/(AB·AC)=3x·y/(5x·3y)=1/5⇒
⇒S(AMK)=(1/5)S(ABC)
S(BNM)/S(ABC)=(BM·BN)/(AB·BC)=2x·z/(5x·2z)=1/5⇒
⇒S(BNM)=(1/5)S(ABC)
S(CNK)/S(ABC)=(CK·CN)/(BC·AC)=z·2y/(2z·3y)=1/3⇒
⇒S(AMK)=(1/3)S(ABC)
S(MNK)=S(ABC)-S(AMK)-S(BNM)-S(CNK)=
=(1-1/5-1/5-1/3)S(ABC)=(4/15)S(ABC)=4S/15
2) У треугольников ΔBMN, ΔBAC общая вершина B. Тогда
S(BMN)/S(BAC)=MN/AC=1/3⇒S(BMN)=S/3
По теореме Фалеса имеем
BF=EF=EA, FP║EK║AC⇒BR=RO=OM⇒BR/BO=BR/2BR=1/2
BO/BM=2BR/3BR=2/3
FP║EK║AC⇒ΔBRQ~ΔBOT~ΔBMN
ΔBOT~ΔBMN⇒S(BOT)/S(BMN)=(BO/BM)²=(2/3)²=(4/9)(S/3)=
=(4/27)S
ΔBRQ~ΔBOT⇒S(BRQ)/S(BOT)=(BR/BO)²=(1/2)²=1/4⇒
⇒S(ROTQ)=S(BOT)-S(BRQ)=(3/4)S(BMN)=(3/4)((4/27)S)=
=S/9