Ответ:
y(k)=(9-16пи√3)/81-16х√3/27
Пошаговое объяснение:
итак уравнение касательной в общем виде выглядит так
y(k)=f(x₀)+f'(x₀)*(x-x₀) где х₀ - точка касания
у нас х₀=а=пи/3
найдем f(x₀)
f(x₀)=f(пи/3)=сtg⁴(пи/3)=(1/√3)⁴=1/9
найдем f'(x₀)
f'(x)=(сtg⁴x)'=4*сtg³x*(ctgx)'=4*сtg³x*(-1/sin²x)=-4сtg³x/sin²x=-4сos³x/sin⁵x
f'(x₀)=f'(пи/3)=-4сos³(пи/3)/sin⁵(пи/3)=-4*(1/2)³/(√3/2)⁵=-4*(1/8)/(9√3/32)=-16/9√3=-16√3/27
все теперь можно подставлять в уравнение касательной
y(k)=f(x₀)+f'(x₀)*(x-x₀)
y(k)=1/9-16√3/27*(x-пи/3)=1/9-16х√3/27-16пи√3/81=1/9-16пи√3/81-16х√3/27=(9-16пи√3)/81-16х√3/27
вот и все y(k)=(9-16пи√3)/81-16х√3/27