Известно, что три векторa n→, u→ и v→ разложены по векторам x→, y→ и z→ следующим...

Question

Известно, что три векторa n→, u→ и v→ разложены по векторам x→, y→ и z→ следующим образом: n→ = −1x→ + 1y→ + 1z→; u→ = 3x→ + −4y→ + 1z→; v→ = −1x→ + 2y→ + −3z→. Докажи, что векторы n→, u→ и v→ компланарны.

Answer 1

В базисе векторы имеют следующие координаты:

Их координаты попарно не пропорциональны, поэтому эти векторы не коллинеарны между собой.

Докажем компланарность векторов двумя способами.

1 способ, школьный (≈10 класс)

Признак компланарности трёх векторов:

Пусть векторы и не коллинеарны. Если для вектора существует единственная пара реальных чисел A и B, такая, что , то векторы компланарны.

Покажем, что

Слева и справа стоят координаты векторов. Векторы равны, если равны их соответственные координаты:

Сложим первое и второе уравнение, получим:

-1 = B

Подставим значение B в первое уравнение, найдём A:

3 = -A - (-1)

A = -2

Проверим найденные значения для остальных уравнений системы.

Итого получаем:

То есть признак выполнен. Значит векторы компланарны.

2 способ (обычно проходится в вузах):

Векторы компланарны, если

Проверим это условие для данных векторов:

Следовательно, векторы компланарны.