Биссектриса BD треугольник ABC делит сторону AC ** части AD = m, DC = n. Докажите...

Question

Биссектриса BD треугольник ABC делит сторону AC на части AD = m, DC = n. Докажите используя площади, что AB/m = BC/n (это дроби)

Answer 1

Объяснение:

S=1/2*a*h.    Проведем высоту ВК в ΔАВС. Она является высотой и для ΔАВD и ΔDВС.

1)S( АВD)=1/2*АD*h      S(DВС )=1/2*DC*h  ⇒

S( АВD)/S(DВС )=(1/2*АD*h)/ ( 1/2*DC*h)

S( АВD)/S(DВС )=АD/ DC

2)S( АВD)=1/2*АВ*ВD*sin∠ABD    ,   S(DВС )=1/2*ВC*ВD*sin∠СВD⇒

S( АВD/S(DВС )=(1/2*АВ*ВD*sin∠ABD  ) /( 1/2*ВC*ВD*sin∠СВD)=  АВ*/ВC , т.к. ∠ABD=∠СВD а значит и синусы равны.

Отношение площадей в обоих случаях одинаковое ⇒АВ*/ВC=АD/ DC, АВ*/ВC=m/ n