Помогите, пожалуйста, исследовать сходимость ряда

Question

Дан 1 ответ

igorShap_zn · Answer 1 · 2020-06-08T02:41:47+0000

$\beta\in[0;1]:\\ \alpha\geq 0: \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{\alpha^n}{\beta^n+n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{\alpha^n}{n}}=\alpha$

Тогда, по признаку Коши, при $\alpha\in[0;1)$ ряд сходится, при 1" alt="\alpha> 1" align="absmiddle" class="latex-formula"> расходится.

При $\alpha=1$ имеем $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{\beta^n+n}\geq \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n+1}= \sum\limits_{k=2}^\infty\dfrac{1}{k}$ Гармонический ряд расходится, а тогда исходный ряд расходится по признаку сравнения.

$\alpha<0:$

При $\alpha\in(-1;0)$ ряд сходится, т.к. ряд из модулей (по доказанному выше) сходится.

\lim\limits_{n\to\infty}{|\dfrac{\alpha^n}{\beta^n+n}|}=\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{|\alpha|^n}{n}}=+\infty" alt="\alpha<-1=>\lim\limits_{n\to\infty}{|\dfrac{\alpha^n}{\beta^n+n}|}=\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{|\alpha|^n}{n}}=+\infty" align="absmiddle" class="latex-formula"> необходимое условие не выполнено, а значит ряд расходится.

a_{n+1} a_{n+1} , а тогда по признаку Лейбница ряд сходится.

1:\\ \alpha\geq 0: \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{\alpha^n}{\beta^n+n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{\alpha^n}{\beta^n}}=\dfrac{\alpha}{\beta}" alt="\beta>1:\\ \alpha\geq 0: \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{\alpha^n}{\beta^n+n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{\alpha^n}{\beta^n}}=\dfrac{\alpha}{\beta}" align="absmiddle" class="latex-formula">

Тогда при $\alpha<\beta$ ряд сходится, при \beta" alt="\alpha>\beta" align="absmiddle" class="latex-formula"> расходится.

\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{\beta^n}{\beta^n+n}}=1" alt="\alpha=\beta=>\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{\beta^n}{\beta^n+n}}=1" align="absmiddle" class="latex-formula"> - необходимое условие не выполнено, ряд расходится.

$\alpha<0:$

Тогда при -\beta" alt="\alpha>-\beta" align="absmiddle" class="latex-formula"> ряд сходится.

При $\alpha=-\beta$ необходимое условие не выполнено, ряд расходится.

|\alpha|=-\alpha>\beta\\=>\lim\limits_{n\to\infty}{|\dfrac{\alpha^n}{\beta^n+n}|}=\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{|\alpha|^n}{\beta^n}}=+\infty" alt="\alpha<-\beta=>|\alpha|=-\alpha>\beta\\=>\lim\limits_{n\to\infty}{|\dfrac{\alpha^n}{\beta^n+n}|}=\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{|\alpha|^n}{\beta^n}}=+\infty" align="absmiddle" class="latex-formula"> необходимое условие не выполнено, ряд расходится.

По итогу ряд сходится только на 1" alt="[-1;1)\times[0;1] \;\;\bigcup\;\; (-\beta;\beta)\times[\beta;+\infty),\forall\beta>1" align="absmiddle" class="latex-formula">