Ответ:
Пошаговое объяснение: y=-x²+4x+1 - парабола, "ветви" - вниз, т.к. коэффициент при x² меньше нуля. y=x+1 - прямая, возрастает, т.к. коэффициент при x больше нуля.
Найдем точки пересечения
-x²+4x+1=x+1
-x²+3x=0
x(3-x)=0
x₁=0, x₂=3 Они же будут границами отрезка интегрирования.
Фигура, площадь которой мы будем искать, ограничена сверху параболой, а снизу - прямой. Поэтому, в формуле Ньютона-Лейбница мы будем "отнимать от параболы прямую".
S=∫₀³(-x²+4x+1-(x+1))dx=∫₀³(-x²+3x)dx=(-1/3·x³+3/2·x²)║₀³=
-1/3·3³+3/2·3²-(-1/3·0+3/2·0)=-9+27/2=(27-9·2)÷2=9÷2=4.5 (ед.кв.)