2y"-y'=1 y(0)=0. y'(0)=1 помогите - Все ответы

Дан 1 ответ

$2y'' - y' = 1, \ y(0)=0, \ y'(0)=1$

Имеем задачу Коши. Решим ее.

$2y'' - y' = 1$

Данное уравнение допускает понижение его порядка, поэтому сделаем соответствующую подстановку:

$y' = p; \ y'' = p'$ , где $p = p(x)$

Имеем:

$2p' - p = 1$

$p' - \dfrac{1}{2} p = \dfrac{1}{2}$ — неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Воспользуемся методом Бернулли: $p = uv; \ p' = u'v + uv'$ , где $u = u(x), \ v = v(x)$

Следовательно, $u'v + uv' - \dfrac{1}{2}uv = \dfrac{1}{2}$

$u'v + u\left(v' - \dfrac{1}{2}v\right) = \dfrac{1}{2}$

Пусть $v' - \dfrac{1}{2}v = 0$ . Тогда $u'v = \dfrac{1}{2}$

Имеем: $\displaystyle \left \{ {{v' - \dfrac{1}{2}v = 0} \atop {u'v = \dfrac{1}{2} \ \ \ \ \ }} \right.$

Решим первое дифференциальное уравнение:

$v' - \dfrac{1}{2}v = 0$

$\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{1}{2}v$

$\dfrac{dv}{v} = \dfrac{1}{2} dx$

$\displaystyle \int\dfrac{dv}{v} = \int\dfrac{1}{2} dx$

$\ln |v| = \dfrac{1}{2}x$

$v = e^{0,5x}$

Решим второе дифференциальное уравнение, подставляя $v = e^{0,5x}$ :

$u'e^{0,5x} = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2e^{0,5x}}$

$du = \dfrac{dx}{2e^{0,5x}}$

$\displaystyle \int du = \int \dfrac{dx}{2e^{0,5x}}$

$u = -\dfrac{1}{e^{0,5x}}+C_{1}$

Таким образом, $p = uv = \left(-\dfrac{1}{e^{0,5x}}+C_{1}\right)e^{0,5x} = -1 +C_{1}e^{0,5x}$

Сделаем обратную подстановку:

$y' = -1 +C_{1}e^{0,5x}$

$\displaystyle y = \int (-1 +C_{1}e^{0,5x})dx = -x + 2C_{1}e^{0,5x} + C_{2}$

Из начальных условий $y(0)=0, \ y'(0)=1$ имеем:

$\displaystyle \left \{ {{0 = 2C_{1} + C_{2}} \atop {1 = -1 + C_{1} \ }} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{C_{1} = 2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {C_{2} = -2C_{1} = -4}} \right.$

Частное решение:

$\displaystyle y = -x + 4e^{0,5x} -4$

Ответ: $\displaystyle y = -x + 4e^{0,5x} -4$

nikebod313_zn (682 баллов) 10 Июнь, 20