2y"-y'=1 y(0)=0. y'(0)=1 помогите ​

0 голосов
30 просмотров

2y"-y'=1 y(0)=0. y'(0)=1 помогите ​


image

Математика (29 баллов) | 30 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

2y'' - y' = 1, \ y(0)=0, \ y'(0)=1

Имеем задачу Коши. Решим ее.

2y'' - y' = 1

Данное уравнение допускает понижение его порядка, поэтому сделаем соответствующую подстановку:

y' = p; \ y'' = p', где p = p(x)

Имеем:

2p' - p = 1

p' - \dfrac{1}{2} p = \dfrac{1}{2} — неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Воспользуемся методом Бернулли: p = uv; \ p' = u'v + uv', где u = u(x), \ v = v(x)

Следовательно, u'v + uv' - \dfrac{1}{2}uv = \dfrac{1}{2}

u'v + u\left(v' - \dfrac{1}{2}v\right) = \dfrac{1}{2}

Пусть v' - \dfrac{1}{2}v = 0. Тогда u'v = \dfrac{1}{2}

Имеем: \displaystyle \left \{ {{v' - \dfrac{1}{2}v = 0} \atop {u'v = \dfrac{1}{2} \ \ \ \ \ }} \right.

Решим первое дифференциальное уравнение:

v' - \dfrac{1}{2}v = 0

\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{1}{2}v

\dfrac{dv}{v} = \dfrac{1}{2} dx

\displaystyle \int\dfrac{dv}{v} = \int\dfrac{1}{2} dx

\ln |v| = \dfrac{1}{2}x

v = e^{0,5x}

Решим второе дифференциальное уравнение, подставляя v = e^{0,5x}:

u'e^{0,5x} = \dfrac{1}{2}

\dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2e^{0,5x}}

du = \dfrac{dx}{2e^{0,5x}}

\displaystyle \int du = \int \dfrac{dx}{2e^{0,5x}}

u = -\dfrac{1}{e^{0,5x}}+C_{1}

Таким образом, p = uv = \left(-\dfrac{1}{e^{0,5x}}+C_{1}\right)e^{0,5x} = -1 +C_{1}e^{0,5x}

Сделаем обратную подстановку:

y' = -1 +C_{1}e^{0,5x}

\displaystyle y = \int (-1 +C_{1}e^{0,5x})dx = -x + 2C_{1}e^{0,5x} + C_{2}

Из начальных условий y(0)=0, \ y'(0)=1 имеем:

\displaystyle \left \{ {{0 = 2C_{1} + C_{2}} \atop {1 = -1 + C_{1} \ }} \right.

\displaystyle \left \{ {{C_{1} = 2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {C_{2} = -2C_{1} = -4}} \right.

Частное решение:

\displaystyle y = -x + 4e^{0,5x} -4

Ответ: \displaystyle y = -x + 4e^{0,5x} -4

(682 баллов)
0

Ещё это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью

0

Да, согласен. Способов решений для этого уравнения много.