Решите уравнение:, где - целая часть числа

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Заметим, что $x^{3}=3+[x]$ , то есть $x^3$ — целое число. Это означает, что $x=\sqrt[3]{m},\; m\in\mathbb{Z}$ , где $m=x^3$ ; Имеем: $m=3+[\sqrt[3]{m}]$ ; Теперь надо отметить, что число $m$ лежит между двумя кубами: $n^{3}$ и $(n+1)^3$ ; Пусть 0" alt="m>0" align="absmiddle" class="latex-formula">. Тогда $[\sqrt[3]{m}]=n$ ; Но $m\geq n^3$ , тогда $3+n\geq n^3$ . Решим это неравенство:

Докажем, что для $n\geq 2$ решений нет. Действительно, касательная к $x^3$ в точке $x_{0}=2$ имеет вид $12(x-2)+8$ ; Более того, для 0" alt="x>0" align="absmiddle" class="latex-formula"> $x^3$ выпукла вниз ( $(x^3)''=6x$ ); Значит, для $n\geq 2$ n+3" alt="n^3\geq 12(n-2)+8>n+3" align="absmiddle" class="latex-formula">; Осталось проверить значение 1, которое подходит.

Значит, $m=4$ и $x=\sqrt[3]{4}$ ; Если $m\leq 0$ , то аналогично $n=[\sqrt[3]{m} ]$ и неравенство уже справедливо для всех $n\leq 0$ ; Но $m\leq (n+1)^3$ поэтому $3+n \leq (n+1)^3$ , что не имеет решений при отриц. $n$ . Здесь аналогично. Рассмотрим касательную в точке $-1-\frac{1}{\sqrt{3}}$ ; Тогда она имеет вид: $x+\frac{1}{\sqrt{3}}+1-(\frac{1}{\sqrt{3}})$ ; По выпуклости вверх на интервале $(-\infty,\; -1)$ можно записать неравенство для $n\leq -1-\frac{1}{\sqrt{3}}$ : $(n+1)^3\leq x+\frac{1}{\sqrt{3}}+1-(\frac{1}{\sqrt{3}}) <x+3$ ; Тем самым, остается проверить значения $n=-1$ и $n=0$ . Они не подходят, откуда заключаем, что решение единственно.

Ответ: $x=\sqrt[3]{4}$

Guerrino_zn (5.1k баллов) 10 Июнь, 20