Докажите равенствоcoscoscos=

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Нестандартное доказательство
Как известно по теореме Виета для кубического уравнения для корней справедливо такое соотношение , если $x_{1};x_{2};x_{3}\\ x_{1}*x_{2}*x_{3}=\frac{a}{d}$
где уравнение
$ax^3+bx^2+cx+d=0$
то есть нам надо что бы числа $x_{1}=cos\frac{\pi}{7}\\ x_{2}=cos\frac{4\pi}{7}\\ x_{3}=cos\frac{5\pi}{7}$ были корнями уравнения !
воспользуемся тем что
$cos\frac{\pi}{7}=-cos\frac{6\pi}{7}$
разложим левую часть в такой вид
$cos\frac{\pi}{7}=sin^6\frac{\pi}{7}-cos^6\frac{\pi}{7}$ $+15sin^2\frac{\pi}{7}*cos^4\frac{\pi}{7}-15sin^4\frac{\pi}{7}*cos^2\frac{\pi}{7}$
преобразуем его в такой вид
$cos\frac{pi}{7}=(1-cos^2\frac{\pi}{7})^3-cos^6\frac{\pi}{7}+$ $15(1-cos^2\frac{\pi}{7})*cos^4\frac{\pi}{7}-15(1-cos^2\frac{\pi}{7})^2*cos^2\frac{\pi}{7}$
теперь положим $cos\frac{\pi}{7}=x$ получим уравнение
$(1-x^2)^3-x^6+15(1-x^2)*x^4-15(1-x^2)^2*x^2-x=\\$
она равна
$(1-x)(4x^2-2x-1)(8x^3-4x^2-4x+1)=0\\ 8x^3-4x^2-4x+1=0$
теперь корни это кубического уравнения будут числа
$-cos\frac{4\pi}{7}$
$cos\frac{\pi}{7}\\$
$cos\frac{5\pi}{7}$
и как ранее было сказано достаточно поделить
$cos\frac{\pi}{7}*cos\frac{4\pi}{7}*cos\frac{5\pi}{7}=\frac{1}{8}$

Матов_zn (224k баллов) 15 Март, 18