Отрезки АА1, ВВ1, СС1 - медианы треугольника АВС. Докажите,что АА1+ВВ1+СС1 меньше Р(АВС).

Question

Отрезки АА1, ВВ1, СС1 - медианы треугольника АВС. Докажите,что АА1+ВВ1+СС1 меньше Р(АВС).

Answer 1

Из свойств медиан известно, что

АА1<(АВ+АС)/2</p>

ВВ1<(ВС+ВА)/2</p>

СС1<(СА+СВ)/2</p>

Сложим эти неравенства

АА1+ВВ1+СС1<(АВ+АС)/2+ВС+ВА)/2+(СА+СВ)/2=AB+BC+CA=P/2</p>

То есть, сумма длин медиан меньше периметра