2.
В случае, если точки окружности А и С, данные в условии, ограничивают диаметр окружности, и точка В лежит на продолжении этого диаметра (рис.1):
АС = АВ - СВ = 50 - 20 = 30 (см)
Радиус окружности:
ОА = ОС = АС : 2 = 30 : 2 = 15 (см)
------------------------------------------
В случае, когда максимально удаленной точкой окружности от точки В является точка касательной к окружности:
ВА - касательная к окружности.
Тогда: ВА ⊥ ОА
В прямоугольном треугольнике ОАВ:
ОВ = R + CB = R + 20 (см) - гипотенуза
OA = R - катет
АВ = 50 см - второй катет
Тогда по т.Пифагора:
(20 + R)² = 50² + R²
400 + 40R + R² = 2500 + R²
40R = 2100
R = 52,5 (см)
-------------------------------------------
3.
Так как АВ и АС - касательные, то АВ = АС и АО - биссектриса ∠САВ. (по 2-му свойству касательных к окружности)
ΔОМС = ΔОМВ по двум сторонам и углу между ними
Тогда ВС ⊥ АО и ВМ = МС
В прямоугольном треугольнике ΔВМА:
∠ВАМ = 30° => ВМ = АВ : 2 = 5 : 2 = 2,5 (см)
Тогда:
ВС = 2·ВМ = 5 (см)
-------------------
Или так:
АО - биссектриса ∠САВ => ∠САВ = 60°
ΔОМС = ΔОМВ по двум сторонам и углу между ними
Тогда: СМ = МВ и ∠САВ - равнобедренный с углом при вершине ∠САВ = 60°
Следовательно, по теореме о сумме внутренних углов треугольника:
∠ВСА = ∠СВА = 60°
Тогда ΔСАВ - равносторонний и ВС = 5 см
