Определить, при каких x и у выражение 5x2-4x+y2+2xy+1 принимает наименьшее значение

Ответ:

При

$x = 0.5 \\ y = - 0.5$

Объяснение:

Выделим полные квадраты:

$5 {x}^{2} - 4x + {y}^{2} + 2xy + 1 = {(x + y)}^{2} + {(2x - 1)}^{2} \geqslant 0$

Квадрат числа не меньше 0, значит наше выражение - сумма двух квадратов - тоже не меньше 0.

Значение 0 достигается, когда обе скобки равны 0:

$2x - 1 = 0 \\ x = 0.5 \\ x + y = 0 \\ y = - x = - 0.5$