Дан прямоугольник АBCD. Через его вершину B проведена прямая BP, перпендикулярная к его...

Question

Дан 1 ответ

InnocentSouI_zn · Answer 1 · 2020-06-12T16:01:03+0000

1. Рассмотрим треугольник ABD

∠ BAD = 90° (как угол прямоугольника) => треугольник ABD прямоугольный, BD - гипотенуза

По теореме Пифагора находим катет AD:

$AD = \sqrt{BD^{2} - AB^{2} } = \sqrt{10^2 - 6^2}= \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8$ см

BC = AD = 8 см (как стороны прямоугольника)

AB = DC = 6 см (как стороны прямоугольника)

2. Проведём AP. Треугольник ABP - прямоугольный, т.к. прямая BP ⊥ AB (т. к. перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD) по условию.

По теореме Пифагора находим гипотенузу AP:

$AP = \sqrt{AB^2 + BP^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100}= 10$ см

3. Проведём прямую PD и рассмотрим треугольник PAD

По теореме о трёх перпендикулярах PA ⊥ AD

(т.к. PB ⊥ AD (т.к. ⊥ плоскости) и AB ⊥ AD (как смежные стороны прямоугольника) )

(PB - перпендикуляр, PA - наклонная, BA - проекция наклонной)

∠PAD = 90° => $S_{PAD} = \frac{1}{2} PA*AD= \frac{1}{2} * 10 * 8 = 40$ см²

4. Проведём PC. Треугольник BPC - прямоугольный, т.к. прямая BP⊥BC (т.к. ⊥ плоскости прямоугольника ABCD) по условию.

По теореме Пифагора находим гипотенузу PC:

$PC = \sqrt{BC^{2}+ BP^2 } =\sqrt{64+64} = 8\sqrt{2}$ см

5. Рассмотрим треугольник PDC

По теореме о трёх перпендикулярах PC ⊥ DC

(т.к. PB ⊥ DC (т.к. ⊥ плоскости) и BC ⊥ CD (как смежные стороны прямоугольника) )

(PB - перпендикуляр, PC - наклонная, BC - проекция наклонной)

∠PCD = 90° => $S_{PDC} = \frac{1}{2} PC * DC = \frac{1}{2}*6*8\sqrt{2}= 24\sqrt{2}$ см²

Ответ: Площадь треугольника PAD = 40 см²; Площадь треугольника PDC = 24√2 см²