Решить систему уравнений: x-y=4 x²+y²=10

Question 1

Решить систему уравнений:

x-y=4

x²+y²=10

Question 2

Возведем обе части первого уравнения в квадрат, получим:

$\left \{ {{x^{2}-2xy+y^{2}=16} \atop {x^{2}+y^{2}=10}} \right.$

$\left \{ {{10-2xy=16} \atop {x^{2}+y^{2}=10}} \right.$

$\left \{ {{xy=-3} \atop {x^{2}+y^{2}=10}} \right.$

$\left \{ {{x=- \frac{3}{y} } \atop {x^{2}+y^{2}=10}} \right.$

$\left \{ {{x=- \frac{3}{y} } \atop {\frac{9}{y^{2}}+y^{2}=10}} \right.$

$\frac{9}{y^{2}}+y^{2}=10$
$\frac{y^{4}-10y^{2}+9}{y^{2}}=0$
$y^{4}-10y^{2}+9=0$

Замена: $y^{2}=t\ \textgreater \ 0$
$t^{2}-10t+9=0, D=100-36=64$
$t_{1}= \frac{10-8}{2}=1$
$t_{2}= \frac{10+8}{2}=9$

Вернемся к замене:
1) $y^{2}=1$
$y_{1}=1$ => $x_{1}=-3$
$y_{2}=-1$ => $x_{2}=3$
2) $y^{2}=9$
$y_{3}=3$ => $x_{3}=-1$
$y_{4}=-3$ => $x_{4}=1$

Проверка:
1) (-3;1) - постороннее решение
-3-1=-4 ≠ 4
2) (3; -1) - решение системы
3-(-1)=4 - верно
3) (-1; 3) - постороннее решение
-1-3=-4 ≠ 4
4) (1; -3) - решение системы
1+3=4 - верно

Ответ: (3; -1); (1; -3)

kalbim_zn · Answer 1 · 2018-02-04T19:18:19+0000

Возведем обе части первого уравнения в квадрат, получим:

$\left \{ {{x^{2}-2xy+y^{2}=16} \atop {x^{2}+y^{2}=10}} \right.$

$\left \{ {{10-2xy=16} \atop {x^{2}+y^{2}=10}} \right.$

$\left \{ {{xy=-3} \atop {x^{2}+y^{2}=10}} \right.$

$\left \{ {{x=- \frac{3}{y} } \atop {x^{2}+y^{2}=10}} \right.$

$\left \{ {{x=- \frac{3}{y} } \atop {\frac{9}{y^{2}}+y^{2}=10}} \right.$

$\frac{9}{y^{2}}+y^{2}=10$
$\frac{y^{4}-10y^{2}+9}{y^{2}}=0$
$y^{4}-10y^{2}+9=0$

Замена: $y^{2}=t\ \textgreater \ 0$
$t^{2}-10t+9=0, D=100-36=64$
$t_{1}= \frac{10-8}{2}=1$
$t_{2}= \frac{10+8}{2}=9$

Вернемся к замене:
1) $y^{2}=1$
$y_{1}=1$ => $x_{1}=-3$
$y_{2}=-1$ => $x_{2}=3$
2) $y^{2}=9$
$y_{3}=3$ => $x_{3}=-1$
$y_{4}=-3$ => $x_{4}=1$

Проверка:
1) (-3;1) - постороннее решение
-3-1=-4 ≠ 4
2) (3; -1) - решение системы
3-(-1)=4 - верно
3) (-1; 3) - постороннее решение
-1-3=-4 ≠ 4
4) (1; -3) - решение системы
1+3=4 - верно

Ответ: (3; -1); (1; -3)