При каких значениях х имеет смысл выражение

$\sqrt{-x^2+3x+4}$

Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть

$-x^2+3x+4\geq0\\x^2-3x-4\leq0\\x^2-3x-4=0\\D=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)=9+16=25\\x_{1,2}=\frac{3\pm5}2\\x_1=-1,\;x_2=4\\\\(x+1)(x-4)\leq0$

Имеем две точки: -1 и 4. Определим значения выражения на отрезках:

0\;-\;He\;nogx.\\\\x\in[-1;\;4]:\;(x+1)(x-4)\leq0\;-\;nogx.\\\\x\in(4;\;+\infty):\;(x+1)(x-4)>0\;-\;He\;nogx." alt="x\in(-\infty;\;-1):\;(x+1)(x-4)>0\;-\;He\;nogx.\\\\x\in[-1;\;4]:\;(x+1)(x-4)\leq0\;-\;nogx.\\\\x\in(4;\;+\infty):\;(x+1)(x-4)>0\;-\;He\;nogx." align="absmiddle" class="latex-formula">

Ответ: выражении имеет смысл при $x\in[-1;\;4]$