При n=1 утверждение верно - 3=1*(1+2).
Пусть утверждение верно для n=k, докажем, что оно верно для n=k+1.
Мы знаем, что 3+5+7+...+(2k+1)=k(k+2), докажем, что тогда
3+5+7+...+(2k+1)+(2k+3)=(k+1)(k+3)
Вычтем из левой части левую часть исходного равенства, а из правой части правую часть исходного равенства:
3+5+7+...+(2k+1)+(2k+3) -3-5-7-...-(2k+1)=(k+1)(k+3)-k(k+2)
Левая часть будет равна 2k+3, а правая k²+4k+3 - (k²+2k)=2k+3. Из этого следует, что равенство 3+5+7+...+(2k+1)+(2k+3)=(k+1)(k+3) также верно, что и требовалось доказать.