Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке K. Основание BC в два раза меньше основания...

Question

Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке K. Основание BC в два

раза меньше основания AD. Точка М-середина основания ВС. Отрезок АМ пересекается с диагональю BD в точке L, а отрезок DM пересекается с диагональю АС в точке N. Найдите площадь четырехугольника KLMN, если известно, что площадь трапеции ABCD равна 90.

Answer 1

Площадь трапеции равна Sabcd=(BC+AD)/2*H=(BC+2BC)/2*H=3/2*BC*H=90.  Треугольники ВКС и АКD подобны по трём углам. Коэффициент подобия ВС/AD=1/2. То есть отношение высот этих треугольников=1/2.  Тогда отношение высоты треугольника ВКС к высоте трапеции АВСD равно h/H=1/3.  Площадь треугольника ВКС равна Sbkc=1/2*BC*h=1/2*BC*(1/3*H)=(3/2*BC*H)*1/3*1/3=90*1/9=10. Здесь умножили и разделили на 3 чтобы выделить площадь трапеции. Далее-треугольники BLM и АКД подобны по трём углам. Коэффициент подобия ВМ/AD=1/4.  Тогда отношение высоты треугольника BLM к высоте трапеции =1/5. Площадь BLM=1/2*BM*h=1/2*(1/2BC)*(1/5*H)=(3/2*BC*H)*1/10*1/3=90*1/30=3. Аналогично находим площадь треугольника MNC=3. Из подобия треугольников MNC и AND.  Тогда SkLMN=SBKC-SBLM-SMNC=10-3-3=4.