2*х^3*у'=у*(2*x^2-у^2) решить дифференциальное уравнение

0 голосов
49 просмотров

2*х^3*у'=у*(2*x^2-у^2) решить дифференциальное уравнение

Математика (72 баллов) | 49 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов

2x^{3}y' = y(2x^{2} - y^{2})

y' = \dfrac{y(2x^{2} - y^{2})}{2x^{3}}

y' = \dfrac{2x^{2}y - y^{3}}{2x^{3}}

Пусть f(x,y) = \dfrac{2x^{2}y - y^{3}}{2x^{3}}

Сделаем проверку:

f(\lambda x,\lambda y) = \dfrac{2(\lambda x)^{2}\lambda y - (\lambda y)^{3}}{2(\lambda x)^{3}} = \dfrac{\lambda ^{3} (2x^{2}y - y^{3})}{2\lambda ^{3}x^{3}} =\dfrac{2x^{2}y - y^{3}}{2x^{3}} = f(x,y)

Таким образом, f(\lambda x,\lambda y) = \lambda ^{0}f(x,y) — имеем однородную функцию нулевого измерения.

Сделаем замену: y = u \cdot x, где u = u(x). Тогда y' = u'x + u

Имеем:

u'x + u = \dfrac{2x^{2}ux - (ux)^{3}}{2x^{3}}

u'x + u = \dfrac{2x^{3}u - u^{3}x^{3}}{2x^{3}}

u'x + u = \dfrac{x^{3}(2u - u^{3})}{2x^{3}}

u'x = \dfrac{2u - u^{3}}{2} - u

x \cdot \dfrac{du}{dx} = -\dfrac{u^{3}}{2}

\dfrac{du}{u^{3}} = - \dfrac{dx}{2x}

\displaystyle \int \dfrac{du}{u^{3}} = - \int \dfrac{dx}{2x}

-\dfrac{1}{2u^{2}} = -\dfrac{1}{2}\ln |x| + C \ \ \ | \cdot (-2)

\dfrac{1}{u^{2}} = \ln |x| + \ln|C_{1}|

\dfrac{1}{u^{2}} = \ln |C_{1}x|

u^{2} = \dfrac{1}{\ln|C_{1}x|}

u = \pm\dfrac{1}{\sqrt{\ln |C_{1}x|} }

Обратная замена:

\dfrac{y}{x} =\pm\dfrac{1}{\sqrt{\ln |C_{1}x|} }

y =\pm\dfrac{x}{\sqrt{\ln |C_{1}x|} }

Ответ: y =\pm\dfrac{x}{\sqrt{\ln |C_{1}x|} }

(682 баллов)
0 голосов

Ответ:

Пошаговое объяснение: решение в файле

image
image
(1.4k баллов)
Похожие задачи