Про четырехугольник ABCD известно, что AB = AD и ∠ACB = ∠ACD. Докажите, что либо BC =...

Question

Про четырехугольник ABCD известно, что AB = AD и ∠ACB = ∠ACD. Докажите, что либо BC = CD, либо четырехугольник ABCD вписан в окружность.​

Answer 1

Пусть AH — высота в треугольнике ABD, а CN — биссектриса в треугольнике BCD.

Случай 1.

   Точки N и H совпадают.

Тогда CN биссектриса и медиана (H является серединой стороны BD, так как AH высота и медиана) и, значит, BC=CD.

Случай 2.

   Точки N и H не совпадают.

Проведем описанную окружность треугольника BCD. Заметим, что биссектриса CN попадает в середину меньшей дуги BD. Туда же попадает и серединный перпендикуляр к BD. Но это и есть точка A. Поэтому A лежит на той же окружности, что и точки B, C, D.