Дано:
r = 2 см
c (гипотенуза) = 10 см
Найти:
а (катет) - ?
b (катет) - ?
S - ?
P - ?
Решение:
1) Радиус вписанной окружности равен площади, деленной на полупериметр:
[tex]r = \frac{S}{p} = \frac{a*b*\frac{1}{2} }{(a+b+c)\frac{1}{2} } = 2[/tex]
[tex]2*(a+b+c)\frac{1}{2} = a*b*\frac{1}{2}[/tex]
[tex]2(a+b+c)=a*b[/tex]
[tex]a*b-2a-2b = 20[/tex]
2) По теореме Пифагора:
[tex]a^{2} + b^{2} = c^{2}[/tex]
[tex]a^{2} + b^{2} = 100[/tex]
3)
[tex]\left \{ {{a*b - 2a - 2b =20} \atop {a^{2} + b^{2}=100}} \right.[/tex]
[tex]b = \frac{20+2a}{a-2}[/tex]
[tex]a^{2} + (\frac{20+2a}{a-2})^{2} = 100[/tex]
[tex]\frac{(a-2)^{2} *a^{2} +4a^{2} +80a +400 - 100(a-2)^{2} }{(a-2)^{2}} =0[/tex]
a ≠ 2
[tex]a^{4} - 4a^{3} + 4a^{2} + 400 + 80a + 4a^{2} - 100a^{2} + 400a - 400 = 0[/tex]
[tex]a^{4} - 4a^{3} + 92a^{2} + 480a = 0[/tex]
a = 0 (не подходит по условию)
[tex]a^{3} - 4a^{2} + 92a + 480 = 0[/tex]
[tex]a^{3} - 6a^{2} + 2a^{2} -12a - 80a +480 = a^{2} (a-6) +2a(a-6)-80(a-6)=(a-6)(a^{2} +2a-80) = (a-6)(a+10)(a-8) = 0[/tex]
a = -10 (не подходит по условию)
a₁ = 6; b₁ = 8
a₂ = 8; b₂ = 6
S = (a*b):2 = 24
P = a+b+c = 24
Ответ: 24; 24