[tex](\sin x + 1)\left(\text{tg} \, x + \dfrac{1}{3} \right) = 0[/tex]
Область определения тангенса: [tex]x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in Z[/tex]
Произведение множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю:
[tex]\text{I}) \ \sin x + 1 = 0\\\sin x = -1\\x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in Z[/tex]
Учитывая ОДЗ, [tex]x \in \varnothing[/tex]
[tex]\text{II}) \ \text{tg} \, x + \dfrac{1}{3} = 0\\\text{tg} \, x = - \dfrac{1}{3}\\x = \text{arctg} \left(-\dfrac{1}{3} \right) + \pi k, \ k \in Z\\x = -\text{arctg} \dfrac{1}{3} + \pi k, \ k \in Z[/tex]
Таким образом, [tex]x = -\text{arctg} \dfrac{1}{3} + \pi k, \ k \in Z,[/tex] — решение исходного уравнения.
Рассмотрим интервал [tex]\left(-\dfrac{\pi}{2}; \ 2\pi \right)[/tex]
Для отбора корней можем решить двойное неравенство:
[tex]-\dfrac{\pi}{2} < -\text{arctg} \dfrac{1}{3} + \pi k < 2\pi, \ k \in Z \ \ \ | +\text{arctg} \dfrac{1}{3}[/tex]
[tex]-\dfrac{\pi}{2} + \text{arctg} \dfrac{1}{3} < \pi k < 2\pi + \text{arctg} \dfrac{1}{3}, \ k \in Z \ \ \ | : \pi[/tex]
[tex]-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\pi} \text{arctg} \dfrac{1}{3} < k < 2 + \dfrac{1}{\pi} \text{arctg} \dfrac{1}{3}, \ k \in Z[/tex]
Поскольку выражение [tex]\dfrac{1}{\pi} \text{arctg} \dfrac{1}{3}[/tex] пренебрежимо невелико, можем записать наше неравенство так:
[tex]-\dfrac{1}{2} \lesssim k \lesssim 2, \ k \in Z[/tex]
Таким образом, [tex]k = \{0; \ 1; \ 2 \}[/tex] — 3 корня
Ответ: 3 корня.