Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, радиус вписанной в этот треугольник...

Дано:

r = 2 см

c (гипотенуза) = 10 см

Найти:

а (катет) - ?

b (катет) - ?

S - ?

P - ?

Решение:

1) Радиус вписанной окружности равен площади, деленной на полупериметр:

$r = \frac{S}{p} = \frac{a*b*\frac{1}{2} }{(a+b+c)\frac{1}{2} } = 2$

$2*(a+b+c)\frac{1}{2} = a*b*\frac{1}{2}$

$2(a+b+c)=a*b$

$a*b-2a-2b = 20$

2) По теореме Пифагора:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

$a^{2} + b^{2} = 100$

$\left \{ {{a*b - 2a - 2b =20} \atop {a^{2} + b^{2}=100}} \right.$

$b = \frac{20+2a}{a-2}$

$a^{2} + (\frac{20+2a}{a-2})^{2} = 100$

$\frac{(a-2)^{2} *a^{2} +4a^{2} +80a +400 - 100(a-2)^{2} }{(a-2)^{2}} =0$

a ≠ 2

$a^{4} - 4a^{3} + 4a^{2} + 400 + 80a + 4a^{2} - 100a^{2} + 400a - 400 = 0$

$a^{4} - 4a^{3} + 92a^{2} + 480a = 0$

a = 0 (не подходит по условию)

$a^{3} - 4a^{2} + 92a + 480 = 0$

$a^{3} - 6a^{2} + 2a^{2} -12a - 80a +480 = a^{2} (a-6) +2a(a-6)-80(a-6)=(a-6)(a^{2} +2a-80) = (a-6)(a+10)(a-8) = 0$

a = -10 (не подходит по условию)

a₁ = 6; b₁ = 8

a₂ = 8; b₂ = 6

S = (a*b):2 = 24

P = a+b+c = 24

Ответ: 24; 24