(1-x)(y'+y)=e^(-x) общее и частное решение дифференциального уравнения

0 голосов
73 просмотров

(1-x)(y'+y)=e^(-x) общее и частное решение дифференциального уравнения

Алгебра (34 баллов) | 73 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

(1-x)(y'+y)=e^{-x}

y'+y=\dfrac{e^{-x}}{1-x}

Решение ищем в виде произведение двух ненулевых функций:

y=uv

y'=u'v+v'u

Подставляем в уравнение:

u'v+v'u+uv=\dfrac{e^{-x}}{1-x}

Предположим, что сумма первого и третьего слагаемого в левой части равна 0:

u'v+uv=0

u'+u=0

u'=-u

\dfrac{du}{dx} =-u

\dfrac{du}{u} =-dx

\int\dfrac{du}{u} =-\int dx

\ln|u| =-x

u=e^{-x}

Тогда, второе слагаемое в левой части равно правой части:

v'u=\dfrac{e^{-x}}{1-x}

v'\cdot e^{-x}=\dfrac{e^{-x}}{1-x}

v'=\dfrac{1}{1-x}

\dfrac{dv}{dx} =\dfrac{1}{1-x}

dv=\dfrac{dx}{1-x}

dv=-\dfrac{d(1-x)}{1-x}

\int dv=-\int \dfrac{d(1-x)}{1-x}

v=-\ln|1-x|+\ln C

v=\ln\dfrac{C}{1-x}

Общее решение:

y=uv=e^{-x}\ln\dfrac{C}{1-x}

Частное решение. Пусть C=1:

y_c=e^{-x}\ln\dfrac{1}{1-x}=-e^{-x}\ln(1-x)

(271k баллов)
Похожие задачи