Розв’язати рівняння: . У відповідь запишіть кількість коренів рівняння, які належать...

0 голосов
73 просмотров

Розв’язати рівняння: . У відповідь запишіть кількість коренів рівняння, які належать проміжку [-2π;2π]

Математика (92 баллов) | 73 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

(\cos 2\pi -\cos 2x) \cos x = \sin x

(1 -\cos^{2}x + \sin^{2}x) \cos x = \sin x

(\sin^{2}x + \sin^{2}x) \cos x = \sin x

2\sin^{2}x \cos x - \sin x = 0

\sin x (2\sin x \cos x - 1) = 0

\text{I}) \ \sin x = 0

x = \pi n, \ n \in Z

\text{II}) \ 2\sin x\cos x - 1 = 0

\sin 2x = 1

2x = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi n, \ n \in Z

x = \dfrac{\pi }{4} + \pi n, \ n \in Z

Розглянемо проміжок [-2\pi; \ 2\pi]

Скористаємося методом перебору коренів:

Якщо n = 0, то x_{1} = 0; \ x_{2} = \dfrac{\pi }{4}

Якщо n = 1, то x_{1} = \pi ; \ x_{2} = \dfrac{\pi }{4} + \pi = \dfrac{5\pi }{4}

Якщо n = 2, то x_{1} = 2\pi ; \ x_{2} = \dfrac{\pi }{4} + 2\pi = \dfrac{9\pi }{4} \notin [-2\pi ; \ 2\pi]

Якщо n = -1, то x_{1} = -\pi ; \ x_{2} = \dfrac{\pi }{4} - \pi = -\dfrac{3\pi }{4}

Якщо n = -2, то x_{1} = -2\pi ; \ x_{2} = \dfrac{\pi }{4} - 2\pi = -\dfrac{7\pi }{4}

Отже, загальна кількість коренів, що входять у проміжок [-2\pi; \ 2\pi], дорівнює 9.

Відповідь: 9

(682 баллов)
Похожие задачи