Ответ:
Деревья и травы летом и в начале осени по-весеннему сочны и свежи. Союз и повторяется, связывает пары однородных членов, поэтому запятая не нужна.
начале относится к осени, так что в начале раздельно
по-весеннему - это наречие, а не предлог с прилагательным ставим "-"
весен - корень, н - суффикс, ему - "застывшее окончание", но это наречие, так что суффикс
Я осудил себя на вечную разлуку и с холодом в груди пустился в дальний путь. Союз и связывает части простого предложения с однородными сказуемыми, так что запятая не нужна.
чк-чн пишем без мягкого знака
холодом - 2 склонение, ед ч, Творительный падеж, пишем ом