Решите задачу Коши для заданной автономной системы дифференциальных уравнений.

+860 голосов
4.4m просмотров

Решите задачу Коши для заданной автономной системы дифференциальных уравнений.


image

Алгебра (200 баллов) | 4.4m просмотров
Дан 1 ответ
+83 голосов
Правильный ответ

\begin{cases} x'=2x+4y\\ y'=x+5y\end{cases}

Продифференцируем первое уравнение:

x''=2x'+4y'

Подставим в него соотношение для y' из второго уравнения:

x''=2x'+4(x+5y)

x''=2x'+4x+20y

Из полученного уравнения отнимем первое уравнение системы, умноженное на 5:

x''-5\cdot x'=2x'+4x+20y-5\cdot(2x+4y)

x''-5x'=2x'+4x+20y-10x-20y

x''-7x'+6x=0

Составим характеристическое уравнение:

\lambda^2-7\lambda+6=0

(\lambda-1)(\lambda-6)=0

\lambda_1=1;\ \lambda_2=6

\Rightarrow x=C_1e^t+C_2e^{6t}

Найдем х':

x'=C_1e^t+6C_2e^{6t}

Выразим у из первого уравнения:

y=\dfrac{x'-2x}{4}

Находим у:

y=\dfrac{C_1e^t+6C_2e^{6t}-2(C_1e^t+C_2e^{6t})}{4}

y=\dfrac{C_1e^t+6C_2e^{6t}-2C_1e^t-2C_2e^{6t}}{4}

\Rightarrow y=-\dfrac{1}{4}C_1e^t+C_2e^{6t}

Условие для задачи Коши:

\begin{cases} C_1e^0+C_2e^{6\cdot0}=1.2 \\ -\dfrac{1}{4}C_1e^0+C_2e^{6\cdot0}=2.3\end{cases}

\begin{cases} C_1+C_2=1.2 \\ -\dfrac{1}{4}C_1+C_2=2.3\end{cases}

От первого уравнения отнимем второе:

C_1+C_2-\left(-\dfrac{1}{4}C_1+C_2\right)=1.2-2,3

C_1+C_2+\dfrac{1}{4}C_1-C_2=-1.1

\dfrac{5}{4}C_1=-1.1

C_1=-0.88

Выражаем из первого уравнения C_2:

C_2=1.2-C_1

C_2=1.2-(-0.88)

C_2=2.08

Частное решение:

\begin{cases} x=-0.88e^t+2.08e^{6t} \\ y=-\dfrac{1}{4}\cdot(-0.88)e^t+2.08e^{6t} \end{cases}

\begin{cases} x=-0.88e^t+2.08e^{6t} \\ y=0.22e^t+2.08e^{6t} \end{cases}

(271k баллов)
+189

Большое Вам спасибо.

+80

"Большое Вам спасибо."