Ответ:
1. D) (-∞; -2)∪(3; +∞)
2. (-2; 1) и -1; 0
3. ∅
4. [-4; 4]
5. {0}∪[1; +∞)
Объяснение:
1. Решите неравенство: (х+2)∙(х-3)>0.
Рассмотрим функцию f(x)=(х+2)∙(х-3) и применим метод интервалов. Нули функции находим из уравнения
(х+2)∙(х-3)=0.
Отсюда
х+2=0 или х-3=0, то есть x₁= -2 и x₂= 3.
Точки x₁= -2 и x₂= 3 делят ось Ох на интервалы (-∞; -2), (-2; 3) и (3; +∞), на каждом из которых функция сохраняет свой знак. Определим знак функции:
а) -3∈(-∞; -2): f(-3)=(-3+2)∙(-3-3)= -1·(-6)=6>0 - подходит;
б) 0∈(-2; 3): f(0)=(0+2)∙(0-3)= 2·(-3)= -6<0 - не подходит;</p>
в) 5∈(3; +∞): f(5)=(5+2)∙(5-3)= 7·2=14>0 - подходит.
Ответ: (-∞; -2)∪(3; +∞).
2. При каких значениях х значение квадратного трехчлена -x²-х+3 будет больше 1? Найдите целые решения неравенства.
Решаем неравенство:
-x²-х+3>1 или x²+х-2<0.</p>
Рассмотрим функцию f(x)=x²+х-2. Нули функции находим из уравнения
x²+х-2=0
D=1²-4∙1∙(-2)=1+8=9=3², x₁= (-1-3)/(2·1)= -4/2= -2, x₂= (-1+3)/(2·1)= 2/2= 1.
Так как график функции f(x)=x²+х-2=(x+2)·(x-1) парабола и коэффициент при x² равен 1>0, то ветви параболы направлены вверх. Поэтому, по свойству параболы при x∈(-2; 1) функция отрицательна. Целыми решениями неравенства будут -1 и 0.
Ответ: (-2; 1) и -1; 0.
3. Решите систему неравенств:
x}} \right. ." alt="\displaystyle \tt \left \{ {{x^2+x+6\leq 0} \atop {5-3 \cdot (x+1)>x}} \right. ." align="absmiddle" class="latex-formula">
Чтобы разложит выражение первого неравенства на множители решаем уравнение:
x²+x+6=0.
То так как D=1²-4·1·6= 1-24 = -23<0 и 0²+0+6=6>0, то x²+x+6>0 для любого x∈(-∞; +∞). Поэтому неравенство
x²+x+6 ≤ 0
не имеет решения.
Тогда
x}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x \in \varnothing} \atop {5-3 \cdot (x+1)>x}} \right. \Rightarrow x \in \varnothing." alt="\displaystyle \tt \left \{ {{x^2+x+6\leq 0} \atop {5-3 \cdot (x+1)>x}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x \in \varnothing} \atop {5-3 \cdot (x+1)>x}} \right. \Rightarrow x \in \varnothing." align="absmiddle" class="latex-formula">
Ответ: x∈∅.
4. Решите систему неравенств:
0} \atop {(x-4) \cdot (x+4)\leq 0}} \right. ." alt="\displaystyle \tt \left \{ {{x^2-4 \cdot x+5> 0} \atop {(x-4) \cdot (x+4)\leq 0}} \right. ." align="absmiddle" class="latex-formula">
Чтобы разложит выражение первого неравенства на множители решаем уравнение:
x²-4·x+5=0.
То так как D=(-4)²-4·1·5= 16-20 <0 и 0²-4·0+5=5>0, то x²-4·x+5> для любого x∈(-∞; +∞).
Нулями функции f(x)=(x-4)·(x+4) будут x₁= -4 и x₂= 4. Так как график функции f(x)=(x-4)·(x+4)=x²-16 парабола и коэффициент при x² равен 1>0, то ветви параболы направлены вверх. Поэтому, по свойству параболы при x∈[-4; 4] функция не положительная.
Тогда
0} \atop {(x-4) \cdot (x+4)\leq 0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x \in (-\infty; +\infty)} \atop {x \in [-4; 4]}} \right. \Rightarrow x \in [-4; 4]." alt="\displaystyle \tt \left \{ {{x^2-4 \cdot x+5> 0} \atop {(x-4) \cdot (x+4)\leq 0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x \in (-\infty; +\infty)} \atop {x \in [-4; 4]}} \right. \Rightarrow x \in [-4; 4]." align="absmiddle" class="latex-formula">
Ответ: x∈[-4; 4].
5. Решите неравенство: х²·(1-х)·(х²-6·x+9)≤0.
х²·(1-х)·(х²-6·x+9)≤0 ⇔ х²·(1-х)·(х-3)²≤0 ⇔ x=0, x=3, 1-x≤0 ⇔
⇔ x=0, x=3, 1≤x ⇒ x∈{0}∪[1; +∞).
Ответ: x∈{0}∪[1; +∞).
Примечание. Вместо неравенства х²·(1-х)·х²-6·x+9≤0, которое является 5-порядка и разложит на множители представляется очень трудным рассмотрено неравенство х²·(1-х)·(х²-6·x+9)≤0.